Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 3}{x - 18} > 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 3}{x - 18} - 3 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 3}{x - 18} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 3}{x - 18} - 3 \cdot \frac{x - 18}{x - 18} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 3$ et $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 3}{x - 18} + \frac{- 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - 3 x - 3 \cdot - 18}{x - 18} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 18$ .

$\frac{x - 3 - 3 x + 54}{x - 18} > 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 + 54}{x - 18} > 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $- 3$ et $54$ .

$\frac{- 2 x + 51}{x - 18} > 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 51}{x - 18} > 0$

Étape 2.6

Réécrivez $51$ comme $- 1 (- 51)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 51)}{x - 18} > 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 51)$ .

$\frac{- (2 x - 51)}{x - 18} > 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (2 x - 51)$ comme $- 1 (2 x - 51)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 51)}{x - 18} > 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x - 51}{x - 18} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x - 51 = 0$

$x - 18 = 0$

Étape 4

Ajoutez $51$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 51$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = 51$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 51$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{51}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{51}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{51}{2}$

Étape 6

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{51}{2}$

$x = 18$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = \frac{51}{2}, 18$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{2 x - 51}{x - 18}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 51}{x - 18}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 18 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 18$

$18 < x < \frac{51}{2}$

$x > \frac{51}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 18$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 18$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 18} > 3$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $18 < x < \frac{51}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $18 < x < \frac{51}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 22$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $22$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(22) - 3}{(22) - 18} > 3$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $4.75$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{51}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{51}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 28$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $28$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(28) - 3}{(28) - 18} > 3$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $2.5$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 18$ Faux

$18 < x < \frac{51}{2}$ Vrai

$x > \frac{51}{2}$ Faux

$x < 18$ Faux

$18 < x < \frac{51}{2}$ Vrai

$x > \frac{51}{2}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$18 < x < \frac{51}{2}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(18, \frac{51}{2})$

Étape 14